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【数理】研究高阶奇点的Blow-up 技巧

发布日期: 2016/12/1  作者: 网站 管理员   浏览次数: 650   返回


 

时间:127日(周三)1000-1130
地点:3号楼3楼会议室
主讲人:李承治教授,北京大学
题目:研究高阶奇点的Blow-up 技巧
摘要:
当系统在奇点处的线性化部分矩阵没有零特征根时,该奇点称为初等奇点;否则称为高阶奇点。在教科书中对如何确定初等奇点附近的轨线结构都有详细的介绍,但系统在高阶奇点附近的轨线结构一般较复杂,研究起来也较困难。
我们先考虑一种特殊情形,把平面系统的高阶奇点沿一条不变直线“拉伸”成一个或多个初等奇点,研究了这些奇点附近的轨线结构后,再按一定规则还原出高阶奇点附近的轨线结构。然后考虑一般情形,利用 “吹胀”技巧(英文称为 “blow-up”) 来研究高阶奇点附近的轨线结构。其基本思想是:利用适当变换把一个平面系统的高阶奇点分解(吹胀)为圆周上的若干个初等奇点,研究了这些奇点附近的轨线分布后,再把它们合成(收缩)到一点,得出高阶奇点外围的轨线结构。我们将以平面系统为例介绍这个技巧,但它可以推广并应用于高维系统,这时要把n维高阶奇点 “吹胀”为 n-1 维球面上的初等奇点,其中
可以想象,高阶奇点附近轨线的复杂性是没有限度的。自然要问:什么样的高阶奇点可以利用吹胀技巧研究清楚?已知的结果还是令人欣慰的:一个解析系统的孤立高阶奇点总可以通过有限次“吹胀”变为初等奇点,从而得到它附近的轨线结构,参见文献[F. Dumortier, J. Llibre,J.C.Artes,2006, Springer-Verlag]的定理3.3。但对一个给定的系统,适当的光滑性就可保证这种 吹胀技巧的应用。我们将举例加以说明。
 

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